Олег Костин в 1990 году окончил Саратовский ордена Трудового Красного Знамени государственный медицинский институт по специальности «лечебное дело», в 2003 году – Поволжский кооперативный институт Центросоюза Российской Федерации по специальности «юриспруденция».

С 1995 по 1996 год Костин работал главврачом Лысогорской центральной районной больницы в Саратовской области, с 1996 по 1998 год занимал пост начальника Управления здравоохранения администрации Октябрьского района Саратова, в 1998–2001 годах был заместителем главы администрации Кировского района Саратова по социальной сфере, до 2019 года возглавлял Городскую клиническую больницу №9 Саратова.

В апреле 2020 года Олег Костин был назначен исполняющим обязанности министра здравоохранения Саратовской области. Тогда бывшая глава Минздрава региона Наталья Мазина покинула ведомство (некоторое время она возглавляла Саратовскую областную клиническую больницу).

В отношении Натальи Мазиной в начале 2020 года возбудили уголовное дело по ч. 2 ст. 285 УК РФ (злоупотребление должностными полномочиями, совершенное лицом, занимающим государственную должность субъекта РФ). По данным следствия, в октябре-ноябре 2018 года Минздрав региона заключил три госконтракта на поставку 18 ультразвуковых аппаратов для медицинских учреждений области. В региональном управлении СК считали, что чиновники министерства знали о некондиционности оборудования, но подписали контракт, «действуя из иной личной заинтересованности в интересах фирмы-поставщика». Мазина, как полагали следователи, была в курсе случившегося, но от приемки УЗИ-аппаратов не отказалась. Ущерб оценивался в 53 млн рублей.

Расследование дела в отношении экс-министра было завершено в феврале 2021 года. В ноябре Фрунзенский районный суд Саратова оправдал Мазину и признал за ней право на реабилитацию. Прокуратура пыталась оспорить оправдательный приговор, но Первый кассационный суд общей юрисдикции в Саратове оставил его в силе. Это уже третья инстанция, оправдавшая бывшую чиновницу.