Александр Гашков родился в мае 1980 года в Краснокаменске Читинской области. В 2009 году он окончил Читинскую государственную медицинскую академию по специальности «педиатрия», затем прошел интернатуру по клинической лабораторной диагностике, а позже – курсы повышения квалификации в Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ по специальности «организация общественного здоровья и здравоохранения».

В 2010-2011 годах работал врачом-бактериологом в отделе лабораторного обеспечения Центра гигиены и эпидемиологии в Забайкальском крае. С 2011 по 2015 год был заведующим клинической лабораторией горбольницы №2 в Чите. В 2013 году совмещал эту работу с должностью замдиректора по лечебной работе психоневрологического дома-интерната. В 2015 году возглавил Тунгокоченскую ЦРБ.

Гашков работал главврачом в Новоспасской районной больнице Ульяновской области. С января 2021 года исполнял обязанности первого замглавы Минздрава региона, и. о. министра его назначили 15 июля 2021 года (утвержден в этой должности в 2022 году). В июле 2022 года Гашков уволился по собственному желанию, передав пост своему заместителю Олесе Колотик-Каменевой.

Накануне, 8 августа, кадровая перестановка произошла в Депздраве Томской области. От должности был освобожден начальник ведомства Сергей Дмитриев, который занимал этот пост с июля 2020 года. И. о. губернатора региона Владимир Мазур принял решение уволить Дмитриева после того, как посетил больницу Парабельского района и обнаружил там множество нерешенных проблем.