Андрей Плутницкий окончил Северо-Осетинскую государственную медицинскую академию в 2002 году. Начинал карьеру как медбрат отделения анестезиологии и реанимации в военном госпитале во Владикавказе, затем в 2003-2004 годах работал врачом-урологом в поликлинике №139 в Москве.

С 2004 по 2006 год сменил различные должности в столичных ОАО «РОСНО-МС», ОАО МСК «Уралсиб», а в 2006 году был назначен начальником Управления здравоохранения администрации Клинского муниципального района. Позже, в 2014 году, Плутницкий стал заместителем министра здравоохранения Московской области, а затем возглавил Территориальный орган Росздравнадзора по Москве и Московской области.

В августе 2020 года Плутницкий перешел в Минздрав России, где стал руководить департаментом проектной деятельности, созданным в апреле 2019 года для обеспечения контроля реализации нацпроектов и проектов министерства.

В январе 2022 года премьер-министр РФ Михаил Мишустин подписал распоряжение о назначении Андрея Плутницкого заместителем министра здравоохранения РФ. В апреле 2025 года ему был присвоен чин действительного государственного советника РФ 2-го класса.