Дмитрий Маркелов окончил лечебный факультет Омской государственной медицинской академии. С 2002 по 2004 год обучался в клинической ординатуре этого медвуза на кафедре онкологии, а затем в аспирантуре.

В 2002 году начал работать ординатором в Клиническом онкологическом диспансере. В 2017 году стал заведующим хирургическим отделением №1 в медучреждении. Спустя два года, в январе 2019, возглавил онкодиспансер.

На должность министра здравоохранения Омской области его назначили 8 июля 2024 года. В распоряжении губернатора отмечалось, что Дмитрий Маркелов будет главой ведомства в течение года.

На посту Маркелов сменил Артема Наркевича, бывшего руководителем Минздрава с ноября 2023 года по июнь 2024 года. Решение об отставке Наркевич принял в связи с переходом на новую должность – он стал директором Департамента медицинского образования и кадровой политики в здравоохранении Минздрава РФ, сменив Людмилу Летникову, главу департамента с октября 2021 года.

Минздрав Омской области в январе 2025 года представил отчет «Потребность во врачебных кадрах» по состоянию на начало года в городских и районных больницах и поликлиниках. С 2024 года нехватка врачей выросла с 898 до 938 сотрудников. В ведомстве сообщили о дефиците и среднего медперсонала – тогда не хватало 1 048 работников (в 2024 году – 925 специалистов).