Юрий Литвинов в 1999 году окончил Ставропольскую медицинскую академию по специальности «ортопед-травматолог», затем до 2008 года работал в Новоалександровской ЦРБ, где вскоре занял пост главврача. В 2017 году Литвинов перешел в Министерство здравоохранения Ставропольского края на должность первого заместителя министра.

В апреле 2020 года на фоне растущего количества случаев заражения коронавирусной инфекцией в Ставропольском крае министр здравоохранения субъекта Виктор Мажаров, возглавлявший ведомство с 2009 года, оставил пост по собственному желанию. Исполняющим обязанности министра тогда был назначен Юрий Литвинов. В июне того же года главой Минздрава стал Владимир Колесников, а Литвинов вернулся к обязанностям первого заместителя.

В сентябре 2023 года Колесников покинул пост по собственному желанию. Решение было связано с переходом на новую должность – руководителя Федерального центра сердечно-сосудистой хирургии в Астрахани.

С сентября Юрий Литвинов снова исполнял обязанности министра здравоохранения, а 1 декабря официально вступил в должность.