Причина решения Третьякова, возглавлявшего областной Минздрав последние два года, неизвестна, однако в 2018 году жители Новомосковска на фоне сообщений о сокращении объемов медпомощи онкологическим больным в Новомосковской городской клинической больнице написали открытое письмо министру здравоохранения, в котором попросили его уйти в отставку.

Отставка Андрея Третьякова случилась сразу после задержания главного врача Суворовской районной больницы Сергея Кудряшова, подозреваемого в получении взятки и отправленного под домашний арест. В отношении Кудряшова возбуждено уголовное дело по ч. 1 ст. 290 УК РФ (получение должностным лицом, иностранным должностным лицом либо должностным лицом публичной международной организации взятки в значительном размере). В июле 2019 года покинул свой пост после проверки соблюдения антикоррупционного законодательства и главный врач Тульской областной больницы Роман Блюмин. 

Предыдущий министр здравоохранения региона Ольга Аванесян была снята с поста министра здравоохранения губернатором Тульской области Алексеем Дюминым из-за «огромного количества жалоб и обращений граждан, нареканий по качеству медицинского обслуживания в области».

Андрей Третьяков окончил Дагестанскую медицинскую академию по специальности «врач-уролог». Он возглавлял ставропольский санаторий «Минеральные воды», руководил ТФОМС Республики Дагестан, был председателем Научно-практического общества урологов Кавминвод, а также занимался непрофильным бизнесом, развивая ныне ликвидированные компании ООО ПКФ «КМВ-Маркет» и ООО «Рассвет-Тур» (был директором и учредителем в обеих организациях). Третьяков является одним из учредителей АНО «Содружество санаторно-курортных учреждений Кавказских Минеральных Вод». До назначения в Минздрав возглавлял ГБУ «Городская поликлиника №62». После отставки планирует продолжить карьеру в медицинской сфере.