Альмир Абашев в 1998 году окончил Казанский медицинский университет по специальности «лечебное дело». В 2002 году начал работать заведующим отделением, врачом-неврологом Республиканского клинического вертеброневрологического центра.

Позднее, в 2002 году, занял пост главврача Республиканского детского туберкулезного санатория «Обсерватория». Проработал на этой должности до 2003 года, а затем стал главой Республиканской клинической больницы №3. С 2012 по 2019 год был главврачом РКБ №2, параллельно  занимал пост главврача университетской клиники «Казань». На должность первого заместителя министра здравоохранения Альмир Абашев пришел в апреле 2019 года.

О том, что Марсель Миннуллин покинул пост главы Минздрава региона, стало известно в июне 2025 года. Соответствующий указ подписал глава Республики Татарстан Рустам Минниханов. Тогда СМИ связывали уход Миннуллина с тем, что главврач Нижнекамской центральной районной больницы Руслан Валеев, обвиняемый в превышении должностных полномочий (ст. 286 УК РФ), дал показания против него.

По версии следствия, Валеев вступил в сговор с работниками регионального Минздрава и заключил договор с компаниями «Поликомплекс» и «Трейд-Сервис» на поставку лекарств на сумму 8 млн рублей, но в итоге препараты не были поставлены в нужном объеме.